poniedziałek, 27 stycznia 2014

Dlaczego źle liczysz wartość oczekiwaną?


Wartość oczekiwana mówi nam czy nasza strategia w długim terminie będzie zarabiać czy tracić. Ogólnie przyjęty wzór na wartość oczekiwaną wygląda tak:


, czyli mnożymy prawdopodobieństwo wygranej przez jej średnią wielkość, a następnie od wyniku odejmujemy prawdopodobieństwo przegranej przemnożone przez jej średnią wielkość. Wynik pierwszego mnożenia to dodatnia część wartości oczekiwanej, a wynik drugiego to ujemna część. Jeśli dodatnia część jest większa niż ujemna, to w wyniku otrzymamy liczbę dodatnią, a więc nasza strategia w długim terminie ma potencjał.

Im większa wartość oczekiwana tym większą przewagę nad rynkiem mamy.

Ten wzór choć poprawny matematycznie to na giełdzie jest błędny. No może nie sam w sobie błędny, ale w pewnych sytuacjach wprowadza w błąd. Dlaczego? Najłatwiej wyjaśnić to na przykładzie:

Wyobraźmy sobie, że mamy opracowany system inwestycyjny, który daje nam zarobić w średnio 40% transakcji. Na udanej transakcji zarabiamy średnio 300 zł. Jeśli nam się nie powiedzie (60% szans), to tracimy 100 zł.

Czy taka strategia daje nam przewagę w długim terminie? Intuicyjnie czujemy, że tak, ale policzmy to korzystając z podanego wzoru:

WO = 0,4 x 300zł - 0,6 x 100zł
WO = 120zł - 60zł
WO = 60zł

Wartość oczekiwana 60 zł mówi nam tyle, że średnio na jednej transakcji będziemy 60 zł do przodu. Niby wszystko fajnie, ale teraz policzmy wartość oczekiwaną dla drugiej strategii:

Druga strategia także daje zarobić w 40% przypadków, ale jest o tyle ciekawsza, że średni zysk na zyskownej transakcji wynosi aż 600 zł. Gdy jednak przydarzy się transakcja stratna tracimy 200 zł. No i teraz pytanie która strategia jest dla nas lepsza? Który z tych 2 systemów wolałbyś stosować na giełdzie? Policzmy:

WO = 0,4 x 600zł - 0,6 x 200zł
WO = 240zł - 120zł
WO = 120zł

Ciekawe czy zgadliście. Okazuje się, że wartość oczekiwana drugiego systemu to 120 zł, a więc średnio na jednej transakcji będziemy 120 zł do przodu, czyli 2 razy lepiej niż w przypadku systemu pierwszego.

Te wnioski, choć same w sobie są prawdziwe, to wprowadzają w błąd, gdyż tak na prawdę oba systemy są jednym i tym samym system, tylko w drugim przypadku gramy dwukrotnie większą stawką (zyskujemy 2 razy więcej, ale tracimy też 2 razy więcej). Jak to możliwe, że udało nam się oszukać wzór na wartość oczekiwaną?

Wzór zadziałał poprawnie, tylko wartość oczekiwana w matematycznym sensie nie jest tym samym co wyobrażamy sobie jako wartość oczekiwaną w głowie.

A jak wygląda wartość oczekiwana, którą my sobie wyobrażamy? Przede wszystkim dla takiego samego systemu powinna zawsze zwracać ten sam wynik, niezależnie od tego jaką stawką zamierzamy grać (bo przecież zwiększanie stawki nie sprawia, że strategia sama w sobie staje się lepsza.)

I tu pojawia się pomysł, aby nieco zmodyfikować wzór na wartość oczekiwaną, aby odzwierciedlał nasze wyobrażenia o niej. Aby to zrobić w nowym wzorze uwzględnijmy wzrost ryzyka jakie niesie za sobą zwiększanie stawki.

Poniższy obraz pokazuje kroki od strony matematycznej, a poniżej znajduje się opis krok po kroku wyjaśniający co się dzieje:


Pierwsza linijka to nasz standardowy wzór na WO. 

Aby uwzględnić w nim ryzyko obie strony równania dzielę przez średnią wysokość przegranej (śrPrzeg). Druga linijka pokazuje wzór po wykonaniu tej operacji.

Trzecia linijka informuje nas, że od teraz interesuje nas nie sama wartość WO, ale wartość WO podzielona przez średnią stratę, a więc uwzględniająca ryzyko.

Czwarta linijka to po prostu podstawienie nowej wartości oczekiwanej do wzoru z drugiej linijki i jest to też nasz ostateczny wzór na nową wartość oczekiwaną.

Nasz nowy wzór ma jeden ułamek, którego nie mieliśmy, w oryginalnej wersji wzoru. Ten ułamek to średnia wartość wygranej podzielona przez średnią wartość przegranej czyli nic innego jak stosunek zysku do straty.

Sprawdźmy teraz jak ten nowy wzór zachowa się porównując dwa systemy inwestycyjne z wcześniejszych przykładów. Przypominam, że oba systemy mają prawdopodobieństwo zysku 40%. Pierwszy daje zarobić 300 zł na zyskownej transakcji i zabiera 100 zł na stratnej. Drugi daje zarobić 600 zł na zyskownej transakcji i zabiera 200 zł na stratnej.

System I:


System II:

Okazuje się, że nowa wartość oczekiwana dla obu transakcji jest dokładnie taka sama, a więc nowy wzór wychwycił to, że tak na prawdę jest to dokładnie ten sam system.

Uważny obserwator zauważy także, że wartość oczekiwana liczona według standardowego wzoru ma wynik w złotówkach, natomiast nowa wartość oczekiwana podawana jest bez jednostek. Zniknięcie jednostek spowodowane zostało przekształceniem matematycznym, ale dzięki temu, że ich nie ma możemy z powodzeniem porównywać między sobą najróżniejsze systemu.

Wynikową wartość nowego wzoru można interpretować jako: "Ile zł. zarobię średnio na jednej transakcji na każdą zaryzykowaną złotówkę?"

W przypadku obu naszych przykładowych systemów odpowiedź brzmi: "Średnio na jednej transakcji zyskasz 60 groszy na każdą zaryzykowaną złotówkę".

Oczywiście analogicznie do oryginalnego wzoru jeśli wartość "newWO" będzie mniejsza niż zero oznacza to, że strategia będzie tracić w długim terminie.

O tym ile powinna wynosić wartość oczekiwana Twojej strategi, abyś mógł na niej zarabiać pisałem w artykule: "Straty, których nie wytrzymasz".


Jeśli artykuł Ci się podoba kliknij "lubię to", aby inni też mogli go przeczytać:
Dodatkowo zapisz mi swój adres email, aby nie przegapić nowych artykułów (nie wysyłam żadnego spamu/reklam itp.):
Twój email:

16 komentarzy:

airborell pisze...

Czekam na następny tekst, w którym autor wyjaśni, że to nie jest wszystko jedno, czy mamy zysk 200 zł z zainwestowanego tysiąca czy z dziesięciu tysięcy.

I nie, wzór nie uwzględnia ryzyka. Ryzyko uwzględniałby, gdyby zakładaną wartość oczekiwaną skorygować o wariancję.

10procentrocznie pisze...

Rozwiń proszę swoją myśl z pierwszego zdania, bo niestety nie wiem jak ona łączy się z artykułem. Co do wariancji jako miary ryzyka to z tego co się orientuję pomysł jest stosowany i się sprawdza. Jeszcze innym pomysłem jest liczenie maksymalnego obsunięcia kapitału w historii i porównanie ryzyka dwóch systemów na tej podstawie.

Arek pisze...

Szczerze mówiąc moim zdaniem przedstawiony sposób dalej bardzo zakłamuje rzeczywistość.




Porównaj dwa systemy:


1)Pierwszy ma newWO = 1
2)Drugi ma newWO = 0.6


Który wybierzesz na podstawie tych danych?
A który jeśli wiesz że pierwszy system generuje jedną transakcję rocznie, a drugi 10 transakcji dziennie?

10procentrocznie pisze...

Rozumiem o co chodzi. Jasne, że nikt nie będzie chciał korzystać z systemu, który generuje 1 transakcję rocznie. Myk polega na tym, że newWO to nadal jest tylko wartość oczekiwana, czyli nie jakiś magiczny wskaźnik, który jednoznacznie powie, że ten system jest lepszy, ale właśnie wpadłem na pomysł, że można by coś takiego stworzyć :) Algorytm, który uwzględniałby WO, drop downy, liczbę transakcji itp. i na tej podstawie, mówił co jest bezwzględnie lepsze. Nie wiem czy da się coś takiego zrealizować. Jak ktoś mam pomysł na konstrukcję takiego wskaźnika to zachęcam do podzielenia się :)

groozja pisze...

jest rok 2014. Od 2001 roku licze tak jak piszesz czyli
Prawdopodobienstwo wygranej * sredni zysk/srednia strata-prawdopodobienstwo straty
Tak chyba opisal to Van Tharp w swojej ksiazce
Wiec chyba odkryles ameryke po kilkunasty latach

10procentrocznie pisze...

A to spryciarz ten Van Tharp, muszę zerknąć do jego książki żeby zobaczyć czy więcej pomysłów mi nie podkradł ;)


A tak serio to oczywiście pomysł na takie liczenie WO nie jest mój. Znalazłem go jakiś czas temu w internecie i stwierdziłem, że warto przybliżyć jego zalety większej liczbie osób.


Co do odkrywania Ameryki można by na to spojrzeć tak, że nie ma sensu pisać artykułów np. o tym, że "warto oszczędzać", albo żeby "nigdy nie inwestować bez jasno określonego systemu", bo te pomysły powstały już wiele lat temu. Hmm tylko dlaczego tak mało ludzi oszczędza i sporo ludzi inwestuje na czuja, bez systemu?


Także ogromny szacunek z mojej strony, że Ty wiedziałeś o tym już w 2001 roku, ale myślę, że jest spora grupa czytelników, dla których ten temat jest zupełnie nowy :)

Arek pisze...

Moje podejście jest takie:


(procentowa wartość oczekiwana * ilość transakcji które faktycznie bym przeprowadził zgodnie z zasadami zarządzania kapitałem) / czas zabawy

10procentrocznie pisze...

Super sposób na odrzucenie systemów, które dają zbyt mało sygnałów.


Zastanawiam się tylko czym jest: "procentowa WO"? Jakoś specjalnie jeszcze przeliczasz WO, żeby uzyskać wynik w procentach, czy to jest to to samo WO co w artykule tyle, że inaczej nazwane?

Arek pisze...

Procentowa wartość oczekiwana - nie wiem czy to fachowy termin:P Powiedział bym że jest to średni procentowy zysk na transakcji.


Zauważyłem też teraz że WO z artykułu daje bardzo wysokie wartości dla mało ryzykownych instrumentów (np. dla lokaty wynik jest bliski nieskończoności)

10procentrocznie pisze...

A już rozumiem :) Rzeczywiście to bardzo dobry sposób liczenia WO.


To prawda, że wzór promuje bezpieczniejsze systemy, no i nie bardzo daje się zastosować przy systemach, które nigdy nie ponoszą strat (np. lokaty). Do takich przypadków (porównanie zysku z lokaty i jakiegoś systemu) Twoja wersja wzoru będzie jak znalazł :)

haael pisze...

Analiza trafna a błędem w początkowym rozumowaniu było to, że próbowałeś liczyć wartość spodziewaną w ZŁOTÓWKACH. Natomiast powinno się liczyć wartość spodziewaną w PROCENTACH a jeszcze lepiej w STOPACH ZWROTU, czyli procentach podzielonych przez czas.

W skrócie, wartość spodziewaną obliczoną w pierwszej części artykułu należałoby podzielić przez wielkość kapitału, jakim dysponujesz i przez okres czasu, w jakim inwestujesz.



Aha, przy ustalonym kapitale dwa pierwsze przykłady są różne. Druga strategia sugeruje dwa razy większą wielkość pozycji (przy założeniu tego samego kapitału), czyli jest to inna strategia, niż pierwsza.


A ryzyko trzeba policzyć i tak.

Chris pisze...

b. ciekawy artykul, milo bylo by dalsze poczytac, dalem like na FB

farnick pisze...

Witam,

Oprócz wartości oczekiwanej, którą podałeś (czyli dzieloną przez przeciętną stratę) równie dobrze w porównywaniu systemów sprawdza się wskaźnik Profit Factor, którego konstrukcja jest jeszcze prostsza a wzór:

Profit Factor = (prawdop. zysku x średni zysk) / (prawdop. straty x średnia strata)

Ten wskaźnik wydaje mi się bardziej obiektywny, ponieważ wzór na newWo, który podałeś bardzo preferuje systemy, które dają małą wartość przeciętnej straty. Dla przykładu porównaj wyniki dla obydwu wzorów 2 systemów:

Pierwszy:
Prawd.zysku 50 % średni zysk 800 zł
Prawd.straty 50% średnia strata 200 zł

Drugi:
Prawd.zysku 80% średni zysk 100 zł
Prawd.straty 20% średnia strata 100 zł

licząc newWO wychodzi, że system pierwszy daje 2,5 raza lepsze wyniki (newWO 1,5 wobec nweWO 0,6) więc jest o wiele lepszy od systemu drugiego - co jest mocno dyskusyjne. Profit Factor dla obydwu systemów jest natomiast taki sam i wynosi 4.

Seba pisze...

tak ? a jakie to uslugi ?..

tomi pisze...

Biznes to jest biznes.... to Ty masz zarobić a nie patrzeć co robią inni... to jest Twój pienądz i gówno powinno Cię obchodzić czy Twój potencjalny klient będzie mieć co do gara włożyć... niestety jak chcesz zarobić to musisz mieć twarde zarówno serce jak i dupe.... a jak włączasz do biznesu czy to jest etyczne czy też nie, to idź na księdza... niestety, ale interes to trochę jak dżungla... silniejszy wygrywa i nie ma, że boli

Paul pisze...

Jestem Pan Jose biały uzasadnionych i Renomowane pożyczki pożyczkodawcy. jesteśmy
> Dynamiczna firma z pomocy finansowej. Dajemy fundusze pożyczkowe out
> Do osób potrzebujących pomocy finansowej, które mają złych kredytów
> Lub potrzebują pieniędzy, aby zapłacić rachunki, do inwestowania w interesach. Chcę używać
> Tego medium poinformować, że świadczymy niezawodne i beneficjentem
> Pomoc, jak chętnie oferują pożyczki.
>
> Skontaktuj się z nami poprzez adres e-mail: josefinance001@outlook.com
>
> Pełna nazwa ....
> SEX ..........
> KRAJ ..........
> Kwota kredytu .......
> CZAS TRWANIA ......
> Numer telefonu: ......
> EMAIL ................
>

Jeśli po dodaniu Twój komentarz jest niewidoczny, upewnij się czy Twoja przeglądarka ma włączoną opcję obsługi ciasteczek (cookies).

Prześlij komentarz