Dlaczego źle liczysz wartość oczekiwaną?

Wartość oczekiwana mówi nam czy nasza strategia w długim terminie będzie zarabiać czy tracić. Ogólnie przyjęty wzór na wartość oczekiwaną wygląda tak:

, czyli mnożymy prawdopodobieństwo wygranej przez jej średnią wielkość, a następnie od wyniku odejmujemy prawdopodobieństwo przegranej przemnożone przez jej średnią wielkość. Wynik pierwszego mnożenia to dodatnia część wartości oczekiwanej, a wynik drugiego to ujemna część. Jeśli dodatnia część jest większa niż ujemna, to w wyniku otrzymamy liczbę dodatnią, a więc nasza strategia w długim terminie ma potencjał.

Im większa wartość oczekiwana tym większą przewagę nad rynkiem mamy.

Ten wzór choć poprawny matematycznie to na giełdzie jest błędny. No może nie sam w sobie błędny, ale w pewnych sytuacjach wprowadza w błąd. Dlaczego? Najłatwiej wyjaśnić to na przykładzie:

Wyobraźmy sobie, że mamy opracowany system inwestycyjny, który daje nam zarobić w średnio 40% transakcji. Na udanej transakcji zarabiamy średnio 300 zł. Jeśli nam się nie powiedzie (60% szans), to tracimy 100 zł.

Czy taka strategia daje nam przewagę w długim terminie? Intuicyjnie czujemy, że tak, ale policzmy to korzystając z podanego wzoru:

WO = 0,4 x 300zł - 0,6 x 100zł

WO = 120zł - 60zł

WO = 60zł

Wartość oczekiwana 60 zł mówi nam tyle, że średnio na jednej transakcji będziemy 60 zł do przodu. Niby wszystko fajnie, ale teraz policzmy wartość oczekiwaną dla drugiej strategii:

Druga strategia także daje zarobić w 40% przypadków, ale jest o tyle ciekawsza, że średni zysk na zyskownej transakcji wynosi aż 600 zł. Gdy jednak przydarzy się transakcja stratna tracimy 200 zł. No i teraz pytanie która strategia jest dla nas lepsza? Który z tych 2 systemów wolałbyś stosować na giełdzie? Policzmy:

WO = 0,4 x 600zł - 0,6 x 200zł

WO = 240zł - 120zł

WO = 120zł

Ciekawe czy zgadliście. Okazuje się, że wartość oczekiwana drugiego systemu to 120 zł, a więc średnio na jednej transakcji będziemy 120 zł do przodu, czyli 2 razy lepiej niż w przypadku systemu pierwszego.

Te wnioski, choć same w sobie są prawdziwe, to wprowadzają w błąd, gdyż tak na prawdę oba systemy są jednym i tym samym system, tylko w drugim przypadku gramy dwukrotnie większą stawką (zyskujemy 2 razy więcej, ale tracimy też 2 razy więcej). Jak to możliwe, że udało nam się oszukać wzór na wartość oczekiwaną?

Wzór zadziałał poprawnie, tylko wartość oczekiwana w matematycznym sensie nie jest tym samym co wyobrażamy sobie jako wartość oczekiwaną w głowie.

A jak wygląda wartość oczekiwana, którą my sobie wyobrażamy? Przede wszystkim dla takiego samego systemu powinna zawsze zwracać ten sam wynik, niezależnie od tego jaką stawką zamierzamy grać (bo przecież zwiększanie stawki nie sprawia, że strategia sama w sobie staje się lepsza.)

I tu pojawia się pomysł, aby nieco zmodyfikować wzór na wartość oczekiwaną, aby odzwierciedlał nasze wyobrażenia o niej. Aby to zrobić w nowym wzorze uwzględnijmy wzrost ryzyka jakie niesie za sobą zwiększanie stawki.

Poniższy obraz pokazuje kroki od strony matematycznej, a poniżej znajduje się opis krok po kroku wyjaśniający co się dzieje:

Pierwsza linijka to nasz standardowy wzór na WO. 

Aby uwzględnić w nim ryzyko obie strony równania dzielę przez średnią wysokość przegranej (śrPrzeg). Druga linijka pokazuje wzór po wykonaniu tej operacji.

Trzecia linijka informuje nas, że od teraz interesuje nas nie sama wartość WO, ale wartość WO podzielona przez średnią stratę, a więc uwzględniająca ryzyko.

Czwarta linijka to po prostu podstawienie nowej wartości oczekiwanej do wzoru z drugiej linijki i jest to też nasz ostateczny wzór na nową wartość oczekiwaną.

Nasz nowy wzór ma jeden ułamek, którego nie mieliśmy, w oryginalnej wersji wzoru. Ten ułamek to średnia wartość wygranej podzielona przez średnią wartość przegranej czyli nic innego jak stosunek zysku do straty.

Sprawdźmy teraz jak ten nowy wzór zachowa się porównując dwa systemy inwestycyjne z wcześniejszych przykładów. Przypominam, że oba systemy mają prawdopodobieństwo zysku 40%. Pierwszy daje zarobić 300 zł na zyskownej transakcji i zabiera 100 zł na stratnej. Drugi daje zarobić 600 zł na zyskownej transakcji i zabiera 200 zł na stratnej.

System I:

System II:

Okazuje się, że nowa wartość oczekiwana dla obu transakcji jest dokładnie taka sama, a więc nowy wzór wychwycił to, że tak na prawdę jest to dokładnie ten sam system.

Uważny obserwator zauważy także, że wartość oczekiwana liczona według standardowego wzoru ma wynik w złotówkach, natomiast nowa wartość oczekiwana podawana jest bez jednostek. Zniknięcie jednostek spowodowane zostało przekształceniem matematycznym, ale dzięki temu, że ich nie ma możemy z powodzeniem porównywać między sobą najróżniejsze systemu.

Wynikową wartość nowego wzoru można interpretować jako: "Ile zł. zarobię średnio na jednej transakcji na każdą zaryzykowaną złotówkę?"

W przypadku obu naszych przykładowych systemów odpowiedź brzmi: "Średnio na jednej transakcji zyskasz 60 groszy na każdą zaryzykowaną złotówkę".

Oczywiście analogicznie do oryginalnego wzoru jeśli wartość "newWO" będzie mniejsza niż zero oznacza to, że strategia będzie tracić w długim terminie.

O tym ile powinna wynosić wartość oczekiwana Twojej strategi, abyś mógł na niej zarabiać pisałem w artykule: "Straty, których nie wytrzymasz".